leetcode算法篇，常见算法总结
leetcode算法之动态规划
题目描述
给定一个正整数 n，你需要将它拆分成至少两个正整数的和，并且你可以将这些整数进行重新组合（即：我们可以将它们相加、相乘等操作），以便使它们的乘积最大化。你需要找到最大的乘积，并返回这个乘积。
该问题的解决思路可以通过动态规划来解决。具体来说
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| 1、定义状态：设 dp[i] 为整数 i 的最大乘积分割。
2、初始化状态：对于 dp[1] 来说，因为 1 不能分割成两个数之和，所以 dp[1] = 0。
3、状态转移：对于整数 i，我们可以尝试将其分割成两个整数 j 和 i - j，然后分别计算 j 和 i - j 的最大乘积分割并相乘。同时，我们还需要考虑 j 和 i - j 本身作为乘积，这样我们可以从 dp[j] 和 dp[i - j] 中取最大值。也就是说，状态转移公式是：
4、dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])) （对于 1 <= j <= i - 1）
循环求解：通过循环从 2 到 n，逐步计算 dp[i]，以得到 dp[n]。
通过这个动态规划算法，你可以找到最大的乘积分割。通过递推计算 dp 数组中的值，你就可以得到整数 n 拆分后的最大乘积。
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具体实现
为了在JavaScript中实现整数拆分问题，你可以使用动态规划的方式。具体来说，你可以使用一个数组 dp 来存储整数 i 的最大乘积分割值。然后通过循环从 2 到 n，逐步计算 dp[i]。在每一步中，你尝试将 i 分割成两个整数 j 和 i - j，并计算可能的最大乘积。最终 dp[n] 就是你想要的答案。下面是一个示例代码：
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| function integerBreak(n) {
const dp = new Array(n + 1).fill(0);
dp[1] = 0;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= i - 1; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
}
}
return dp[n];
}
console.log(integerBreak(10));
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分析总结
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| **如何理解** dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
为了理解 dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]) 这个状态转移方程，让我们逐步分解并解释它：
问题描述：dp[i] 是表示整数 i 的最大乘积的数组。我们要找到 i 拆分为至少两个正整数之和后，这些整数的乘积的最大值。
尝试分割：我们尝试将整数 i 分割成两个整数 j 和 i - j。通过遍历 j 的值从 1 到 i - 1，我们可以遍历所有可能的分割情况。
两种计算方式：
直接乘积：j * (i - j) 是将 i 直接分割成两个整数 j 和 i - j，然后计算它们的乘积。这种情况下不涉及递归计算。
递归乘积：j * dp[i - j] 是使用动态规划数组 dp 来计算的。这里，dp[i - j] 表示整数 i - j 的最大乘积。我们将整数 j 乘以 dp[i - j] 得到一种分割 i 的情况的乘积。这种情况下利用了之前的计算结果。
取最大值：通过 Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])，我们取当前 dp[i] 与这两种情况的乘积的最大值。这样，我们能够更新 dp[i]，使其始终保持当前计算到的整数 i 的最大乘积。
总之，dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]) 这个状态转移方程的意思是，在当前 i 的情况下，尝试分割 i 为两个整数 j 和 i - j，计算这两种情况的乘积，并取这些乘积和当前 dp[i] 中的最大值来更新 dp[i]。通过这种方式，动态规划数组 dp 最终存储了从 1 到 n 的最大乘积。
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